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zoom RSS 期待値(1) 期待値は、定義式に従わない方が簡単に求まる

  作成日時 : 2010/10/06 13:38   >>

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30本のくじがあり、賞金300円が2本、200円が5本、100円が7本 

とすると、くじを一本引いたときの賞金額の期待値は
300×2/30 + 200×5/30 + 100×7/30  を計算すればいい。

一般に、高校数学での期待値は 確率変数をX その確率をP(X) として、
X・P(X)を、あり得るX全てについて求めて合計することで求まる。

↓の「離散型」がこれにあたる。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4


例題1
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コインを3回投げたとき、表の出る回数の期待値

0回の確率=1/8  
1回の確率=3/8  
2回の確率=3/8 
3回の確率=1/8

0×1/8 + 1×3/8 + 2×3/8 + 3×1/8 
= 12/8 = 3/2(答)
------------------------------------------------------

 しかし、1回投げた場合の、表の出る回数の期待値は1/2なのだから、3回投げた場合の期待値は、この3倍になることは当然ともいえる。

こんなややこしい計算で求める必要はあるのだろうか?

 
期待値とは、いわば平均値のことである。ここで平均点を考えてみる。英語の平均点が60点、数学の平均点が70点であれば、英語と数学の合計の平均点は、あらためて各自の両科目の合計点を求めなくとも、60点+70点=130点 とわかる。同様のことは当然、期待値にもいえる。

■期待値とは平均値のことであり、それを理解していれば、複雑な計算をする必要はない■


例題2 
-------------------------------------------------------
赤玉3個 白玉7個入っている箱から、4個の玉を取り出す場合、赤玉の個数の期待値は?

答え 玉1個は、平均的に 赤玉3/10個 白玉7/10個 と考えれば 
4個分だから 4×3/10 = 6/5(答) 
------------------------------------------------------

玉が10gとする。10個の玉をどろどろに溶かし均等に混ぜて改めて玉を10個作れば、玉1つには赤の成分が3g、青の成分が7g入っているので、玉1個に対して、赤玉0.3個 白玉0.7個 となる。
4個分だから4×0.3=1.2

というイメージである。


例題3 
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例題1の箱から玉を1個取り出し、箱に戻す。これを4回行った。赤玉を取り出す回数の期待値

答え 玉を1回取り出した場合、赤玉を取り出す回数の期待値は、3/10。 
4回分だから、4×3/10 = 6/5(答)
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例題4 10個のサイコロを投げて出た目の合計の期待値

答え サイコロ1個の目の期待値は7/2 よって、10×7/2 = 35(答) 
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これらを期待値の定義式に忠実に求めようとすると厄介である。

例題2は、 取り出した赤玉の個数がk個の場合の確率を組み合わせCを使って求めて、
0×(0回の確率)+1×(1回の確率)+2×(2回の確率)+3×(3回の確率)
を計算することになる。

例題3も同様で、
0×(0回の確率)+1×(1回の確率)+2×(2回の確率)+3×(3回の確率)+4×(4回の確率)
を計算しなくてはならない。

 例題2・3ぐらいなら何とかなるが、例題4の場合、出た目の合計がkとなる確率を求めようとしても、一般的なkの式で表すことが出来ず、kの場合分けが必要になり、かなり面倒な計算になってしまう。

期待値は平均のことであるという本質をつかむことで、期待値の定義式にしたがって求めるよりも、ずっと簡単に求められることがある。
2007年センター試験「数TA」、2009年東北大(前期) の期待値の問題は数秒で解ける。

実はこれらは「数学C」の教科書に、次のような形で、証明抜きで掲載されているのが普通である。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)  E(aX+bY)=aE(X)+bE(X)

 教科書に掲載されているぐらいだから、当然試験で使うのは構わないが、証明がないのは奇妙に思えるかもしれない。実は、期待値の定義式からこの公式を導くのは難しい。

 そこで、期待値の定義式自体を改良することを試みる。

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