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zoom RSS 期待値(3)  E(X+Y) = E(X)+E(Y) 

<<   作成日時 : 2010/10/07 10:17   >>

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新しい期待値の定義式
------------------------------------------------------------ 
E=f(A1)・P(A1)+f(A2)・P(A2)+・・・・+f(An)・P(An)

A1,A2,・・・・・,Anは事象で、どの2つも重なることがなく、全ての和は全事象
P(Ak)は、Akの起こる確率、f は、各事象に何らかの数値を対応させる関数
------------------------------------------------------------ 

この定義式から、平均値が持つべきはずの性質を、期待値が備えていることを示す。

箱Aには、数字が書かれたカードが入っている。
書かれている数字は、X1,X2,・・・,Xn で、
箱から無作為にカードを1枚取り出したときに、Xkを取り出す確率は、Pa(Xk)とする。 
当然、Pa(X1)+Pa(X2)+・・・+Pa(Xn)=1 が成り立つ。

箱Bにも、数字が書かれたカードが入っている。
書かれている数字は、Y1,Y2,・・・,Ym で、
箱から無作為にカードを1枚取り出したときに、Ysを取り出す確率は、Pb(Ys)とする。
 
当然、Pb(Y1)+Pb(Y2)+・・・+Pb(Ym)=1 が成り立つ。

AとB、それぞれから1枚ずつカードを取り出し、2つの数字の和の期待値を求めてみる。

AからXkを取り出し、かつBからYsを取り出す確率は、Pa(Xk)・Pb(Ys)

よって、(Xk+Ys)・Pa(Xk)・Pb(Ys) をすべての、k(1〜n)とs(1〜m)について求めて全てを足せば、期待値が求まる。添え字が2つある場合の総和については、高校数学の数列では、あまり扱わないが、それほど難しくはない。

簡単にするために、n=4 m=3 の場合について考える。一般の場合もこれと同様に出来る。

  (X1+Y1)・Pa(X1)・Pb(Y1) + (X1+Y2)・Pa(X1)・Pb(Y2)
+ (X1+Y3)・Pa(X1)・Pb(Y3)
 
+(X2+Y1)・Pa(X2)・Pb(Y1) + (X2+Y2)・Pa(X2)・Pb(Y2)
+ (X2+Y3)・Pa(X2)・Pb(Y3) 

+(X3+Y1)・Pa(X3)・Pb(Y1) + (X3+Y2)・Pa(X3)・Pb(Y2)
+ (X3+Y3)・Pa(X3)・Pb(Y3) 

+(X4+Y1)・Pa(X4)・Pb(Y1) + (X4+Y2)・Pa(X4)・Pb(Y2)
+ (X4+Y3)・Pa(X4)・Pb(Y3) 



  X1・{ Pa(X1)・Pb(Y1) + Pa(X1)・Pb(Y2) + Pa(X1)・Pb(Y3) }
+X2・{ Pa(X2)・Pb(Y1) + Pa(X2)・Pb(Y2) + Pa(X2)・Pb(Y3) }
+X3・{ Pa(X3)・Pb(Y1) + Pa(X3)・Pb(Y2) + Pa(X3)・Pb(Y3) }
+X4・{ Pa(X4)・Pb(Y1) + Pa(X4)・Pb(Y2) + Pa(X4)・Pb(Y3) }

+Y1・{ Pa(X1)・Pb(Y1) + Pa(X2)・Pb(Y1) + Pa(X3)・Pb(Y1)
     + Pa(X4)・Pb(Y1) }
+Y2・{ Pa(X1)・Pb(Y2) + Pa(X2)・Pb(Y2) + Pa(X3)・Pb(Y2)
      + Pa(X4)・Pb(Y2) }
+Y3・{ Pa(X1)・Pb(Y3) + Pa(X2)・Pb(Y3) + Pa(X3)・Pb(Y3)
      + Pa(X4)・Pb(Y3) }



 X1・Pa(X1)・{ Pb(Y1) + Pb(Y2) + Pb(Y3) }
+X2・Pa(X2)・{ Pb(Y1) + Pb(Y2) + Pb(Y3) }
+X3・Pa(X3)・{ Pb(Y1) + Pb(Y2) + Pb(Y3) }
+X4・Pa(X4)・{ Pb(Y1) + Pb(Y2) + Pb(Y3) }

+Y1・{ Pa(X1) + Pa(X2) + Pa(X3) + Pa(X4) }・Pb(Y1)
+Y2・{ Pa(X1) + Pa(X2) + Pa(X3) + Pa(X4) }・Pb(Y2)
+Y3・{ Pa(X1) + Pa(X2) + Pa(X3) + Pa(X4) }・Pb(Y3)



     Pa(X1) + Pa(X2) + Pa(X3) + Pa(X4) = 1  
     Pb(Y1) + Pb(Y2) + Pb(Y3) = 1 
     となるので、上の式は、


 X1・Pa(X1) + X2・Pa(X2) + X3・Pa(X3) + X4・Pa(X4)
+Y1・Pb(Y1) +Y2・Pb(Y2) +Y3・Pb(Y3)

となる。つまり、

( Aの箱から取り出した数字 + Bの箱から取り出した数字 ) の期待値 =
( Aの箱から引いた数字 )の期待値 + ( Bの箱から引いた数字)の期待値

ということが分かる。

これを一般的に表現したものが、E(X+Y)=E(X)+E(Y)である。

E(aX+bY)=aE(X)+bE(X)  の方は、

{ ( Aの箱から引いた数字 )×a倍 + ( Bの箱から取り出した数字 )×b倍 }の期待値 =
( Aの箱から引いた数字の期待値 )×a倍 + ( Bの箱から引いた数字の期待値 )×b倍

というようなことであり、これも容易に示すことが出来る。


E(X+Y) = E(X)+E(Y) が成り立つので、 

E(X+Y+Z) = E{(x+Y)+Z) = E(x+Y)+E(Z)
= E(X)+E(Y)+E(Z)という具合にして

E(X+Y+Z) = E(X)+E(Y)+E(Z)などもなりたつことがわかる。
これを繰り返せば、(つまり数学的帰納法を使うと)
確率変数(ここでのX,Y,Zなど)が、いくつの場合でも言えることになる。


例題 
-----------------------------------------------------------
3個のサイコロを投げて出た目の合計の期待値

答え サイコロ1個の目の期待値は7/2 よって、3×7/2=21/2(答) 
------------------------------------------------------------

これは、3つのサイコロのでためをそれぞれX,Y,Zとするときの、X+Y+Zの期待値であり、
E(X+Y+Z) = E(X)+E(Y)+E(Z) = 7/2+7/2+7/2 = 21/2


これで全て解決したかのように思うかも知れないが、実はそうではない。

-------------------------------------------------------------
赤玉3個 白玉7個入っている箱から、4個の玉を取り出す場合、赤玉の個数の期待値は?

答え 玉1個は、平均的に 赤玉3/10個 白玉7/10個 と考えれば 
4個分だから 4×3/10 = 6/5(答) 

玉が10gとする。10個の玉をどろどろに溶かし均等に混ぜて改めて玉を10個作れば、玉1つには赤の成分が3g、青の成分が7g入っているので、玉1個に対して、赤玉0.3個 白玉0.7個 となる。
4個分だから4×0.3=1.2

というイメージである。
--------------------------------------------------------------

「期待値(1)」で出したこの例題、イメージとしては、成り立つのは自明だが、今回の説明では当てはまらない例である。

今回は、箱Aと箱Bからそれぞれ1枚ずつカードを取り出したが、Aから取り出したカードの数字によって、Bから取り出す数字の確率が変化することはない。

このような状況を「独立事象」というが、

「 AからXkを取り出し、かつBからYsを取り出す確率は、Pa(Xk)・Pb(Ys) 」

という部分は、独立事象であるから言えることである。

「期待値(1)」で出したこの例題については、そうはならない。

箱から玉を4個取り出すのだが、取り出した4個を並べて順番に (あ)、(い)、(う)、(え) とすると、
(あ)が赤玉である場合と白玉である場合で、(い)が赤玉である確率が異なってしまう。


だから、独立事象でない場合についても、E(X+Y) = E(X)+E(Y) が成り立つことを示すためには、上でやったことを修正する必要がある。

これについては、いずれ改めて検証する。

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