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zoom RSS 条件付き確率 独立 従属

<<   作成日時 : 2010/10/18 17:17   >>

なるほど(納得、参考になった、ヘー) ブログ気持玉 9 / トラックバック 0 / コメント 10

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サイコロとコインを同時に投げたところ、コインは表がでた。このとき、サイコロの目が1の確率は?
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コインの表裏と、サイコロの目は関係ないから、1/6である。独立事象とはこういうことである。

独立でない場合、つまり従属事象とは以下のような場合であり、問題で問われている確率が「条件付き確率」である。
用語に惑わされず、イメージを掴んで欲しい。



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例題1

Aの箱には、赤玉1個・白玉3個が入っている。
Bの箱には、赤玉4個・白玉1個が入っている。
コインを投げて、表が出たらAから1つ玉を取り出す。裏が出たらBから1つ玉を取り出す。

(1)コインを投げたら表が出た場合、赤玉を取り出す確率は?
(2)取り出した玉が赤玉だった場合、コインが表であった確率は?
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(1)はほとんどの人が難なく解ける。1/4である。
(2)に手こずる人は多い。中には、「問題として成立していない」などと言い出す人もいる。しかし、本質的には(1)と同じで、勿論問題として成立しているし、答えもちゃんと求まる。

(1)がわかりやすいのは、時間的経緯に従って因果関係を考えるからである。しかし、我々は、後の結果から、過去の状況を推測することは日常的によくやっている。

 朝、外を見たら地面が濡れていたら、「夕べ雨が降ったのだろう」と推測する。
 勉強すれば合格の確率が上がるが、合格したら勉強していた可能性が高いとも言える。

「Aの箱には、赤玉1個・白玉3個。Bの箱には、赤玉0個・白玉2個。」という状況であれば、赤玉を取り出したことで、コインは表であったことが分かるだろう。

 このように、極端な数であれば答えが分かるが、例題のような場合はどうすればいいのか?


別の問題を考えてみる。

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例題2

片面にAかB、もう一方の面に「あ」か「い」が書かれているカードがある。

A-あ:3枚    A-い:2枚    B-あ:5枚    B-い:7枚  

とする。

(1) これら17枚のカードから無作為に1枚引いたところ、「A」が書かれていた。このカードに「あ」が書かれている確率は?

(2)これら17枚のカードから無作為に1枚引いたところ、「あ」が書かれていた。このカードに「A」が書かれている確率は?
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(1)と(2)は本質的に同じ問題であることは分かると思う。「(1)は分かるが、(2)は分からない」ということは、普通は考えられない。両方分かるか、両方分からないか、どちらかであるのが普通である。

ここで、カードを全部列挙する。

A-あ
A-あ
A-あ
A-い
A-い
B-あ
B-あ
B-あ
B-あ
B-あ
B-い
B-い
B-い
B-い
B-い
B-い
B-い



(1)の場合、

A-あ
A-あ
A-あ
A-い
A-い

だけを考えればいいのだから、 3/5 である。


(2)の場合、

A-あ
A-あ
A-あ
B-あ
B-あ
B-あ
B-あ
B-あ

について考えればいいのだから、 3/8 である。


確率とは、何度も試行を繰り返した場合に、全体のうちのどのくらいが、ある事象が起こるのかを、全体を1として示した数値である。

まず、それぞれのカードを引く確率は、
A-あ:3/17    A-い:2/17    B-あ:5/17    B-い:7/17  

したがって、

Aを引く確率は、 3/17 + 2/17 = 5/17
A-あ を引く確率は 3/17   

「引いたカードがAであるとしたときに、・・・・」とあるから、今度は、この5/17が全体になって1とみなすことになる。だから、A-あ である確率は、3/5 となる。



例題1も同様である。時間的な前後関係や因果関係を考える必要はない。


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例題1

Aの箱には、赤玉1個・白玉3個が入っている。
Bの箱には、赤玉4個・白玉1個が入っている。
コインを投げて、表が出たらAから1つ玉を取り出す。裏が出たらBから1つ玉を取り出す。

(1)コインを投げたら表が出た場合、赤玉を取り出す確率は?
(2)取り出した玉が赤玉だった場合、コインが表であった確率は?
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解答

表-赤: 1/2 × 1/4 = 1/8
表-白: 1/2 × 3/4 = 3/8
裏-赤: 1/2 × 4/5 = 4/10
裏-白  1/2 × 1/5 = 1/10

(1)  (1/8) / ( 1/8 + 3/8 ) = 1/4 
(2)  (1/8) / ( 1/8 + 4/10 ) = 5/21
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ここまでの話が理解できれば、条件付き確率は理解できたことになる。






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コメント(10件)

内 容 ニックネーム/日時
問題1(2)面白いね。子供に出すも、解けないだけでなく、すぐに投げちゃってがっかり。
みやたけ
2010/10/24 10:29
例題1を例題2と同じように、
(表赤)(表白)(表白)(表白)(裏赤)(裏赤)(裏赤)(裏赤)(裏白)
の9枚のカードがあって・・と考えると間違えてしまうのが面白いね。
みやたけ
2010/10/24 12:34
 ここをきちんと理解出来ている高校生はほとんどいないと思います。

 因果関係や時間的経緯に引きずられちゃって、抽象化してみることが出来ないことが多いです。
大場数理学院
2010/10/25 22:21
ありがとうございます
おかげで理解できました
れたす
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