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zoom RSS テイラー展開の研究 その2 合成積  多項式の場合。

<<   作成日時 : 2014/04/18 09:53  

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 前回、「合成積」を定義したが、無限和になるために、必ずしも収束値を持たない。

u○v が確定する十分条件としては、

(ア)uが多項式、つまり、あるところから先が全て0となるベクトル
(イ)vに定数項がない、つまり第0成分が0の場合
などがある。

他にも、u○vが極限値として確定する場合もあるが、扱いが複雑になる。


【まずは、最も簡単なケースとして、多項式を扱う。】

多項式というのは、ベクトルとして成分表示すると

u=(u_0,u_1,u_2,u_3,・・・・u_m,u_0,0,0,0,・・・) という具合に、成分以降は0が続く形になっている。

しばらくは、このようなものだけを扱う。


結合法則  u○(v○w)=(u○v)○wが成り立つ。


それぞれのベクトルを成分表示して、定義に立ち返り計算すれば出てくる。




【次に、u○v において、vに定数項のない、つまり、第0成分が0の場合を考える。】

u_0*v^0+u_1*v^1+u_2,*v^2+u_3*v^3+・・・・ という具合になるが、vの第0成分が0故に



v^0=(1,0,0,0,・・・・)
v^1=(0,※,※,※,・・・)
v^2=(0,0,※,※,※,・・・)

という具合になっている。

だから、無限和を取る形にはなっているが、

例えば、u○vの第5成分は、u_0*v^0+u_1*v^1+u_2,*v^2+u_3*v^3+u_4*v^4+u_5*v^5 

という具合に、各成分は、十分大きな有限和をとることで確定する。


つまり、概ね多項式の場合に帰着できる。


【vとwに定数項がないなら結合法則 u○(v○w)=(u○v)○w が成り立つ】

第0成分〜第m成分までについて考えるとする。それぞれのベクトルに関して、第m+1成分以降を0に置き換たベクトルと、a、b、cとする。

u○(v○w) と a○(b○c) の 第0成分〜第m成分 は一致する。
(u○v)○w と (a○b)○c の 第0成分〜第m成分 は一致する。

a,b,cは多項式だから、結合法則 a○(b○c)=(a○b)○c がなりたつ。

つまり、u○(v○w) と (u○v)○w の第0成分〜第m成分 は一致する。


mの設定は任意なので、全ての成分に置いて、u○(v○w) と (u○v)○w は一致する。

よって、u○(v○w)=(u○v)○w

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