テイラー展開の研究 その2 合成積  多項式の場合。

 前回、「合成積」を定義したが、無限和になるために、必ずしも収束値を持たない。 u○v が確定する十分条件としては、 (ア)uが多項式、つまり、あるところから先が全て0となるベクトル (イ)vに定数項がない、つまり第0成分が0の場合 などがある。 他にも、u○vが極限値として確定する場合もあるが、扱いが複雑になる。…
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テイラー展開の研究 その1  多項式や級数を無限次元のベクトルと見なす。

多項式を各係数を成分とするベクトルと同一視してみる。 例えば、2次式f(x)=3-2x+7x^2 を (3,-2,7)と言う具合。 こうすると多項式のスカラー倍や、多項式同士の和がベクトルのスカラー倍や和と対応することが分かる。 しかし、2次式は3次元ベクトル空間の元としておくと、2次式同士の積が4次式となり、空間からはみ…
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テイラー展開の研究 その0 指数・対数

 ある程度数学をやっている人手あれば、テイラー展開というのはおなじみ。  指数関数や三角関数のテイラー展開はよく知られている。 e^x=1+x+x^2/2!+・・・ などとなる。  対数関数のテイラー展開というのもある。log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-・・・という具合。代入できるxは絶対値が1未満という制…
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4平方の定理

 三角錐の4つの三角形の面のうち、3つが直角三角形であるとする。 直角三角形の面積をそれぞれ、P,Q,R,残り1つの三角形の面積をSとする。P,Q,R,Sの間にどのような関係があるか? (第一段階)ヘロンの公式  三角形の各辺の長さが与えられていれば、三角形は確定するので、面積も確定する。だから、三辺の長…
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条件付き確率 独立 従属

----------------------------------------------------------- サイコロとコインを同時に投げたところ、コインは表がでた。このとき、サイコロの目が1の確率は? ----------------------------------------------------------- …
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確率 当たりの確率は、くじ引きを引く順序に無関係

 期待値からは、しばらく離れて、確率について考えてみる。 確率は期待値の一種とも言える。 「サイコロを1回振って6の目の出る確率」 =「サイコロを1回振ったときの6の目の出る回数の期待値」 一般的に表現すれば、 「ある試行を1回行ったときに、ある事象が起こる確率」 =「ある試行を1回行ったときに、ある事情が起…
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期待値(2) 新しい期待値の定義式

Aの箱に0,1,2,3,4のカードが1枚ずつ入っている。Bの箱には、0,1,2,3のカードが1枚ずつ入っている。 ここで、A,Bからカードを1枚ずつ取り出してその合計値の期待値を求めてみる。 まず従来の期待値の定義式で求めてみる。(a,b)は、A、Bから引いた数字がそれぞれa、bということを意味する。 0となる確率 =…
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期待値(1) 期待値は、定義式に従わない方が簡単に求まる

30本のくじがあり、賞金300円が2本、200円が5本、100円が7本  とすると、くじを一本引いたときの賞金額の期待値は 300×2/30 + 200×5/30 + 100×7/30  を計算すればいい。 一般に、高校数学での期待値は 確率変数をX その確率をP(X) として、 X・P(X)を、あり得るX全てにつ…
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